1998年全国高校招生数学统考试题（理工农医类）

 

1998年全国高校招生数学统考试题（理工农医类）

                                       

 

一、选择题：本大题共15小题；第（1）－（10）题每小题4分，第（11）－

（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四项选项中，只有一项是符合

题目要求的。

（1）sin600°的值是

    （A）1/2          （B）-1/2         （C）
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
 

 
/2         （D）-
 
/2

（2）函数y=a|x|(a>1)的图象是

（3）曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程式为

    （A）x2+(y+2)2=4                    （B）x2+(y-2)2=4 

    （C）(x-2)2+y2=4                    （D）(x+2)2+y2=4

（4）两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是

    （A）A1A2+B1B2=0                    （B）A1A2-B1B2=0 

    （C）A1A2/B1B2=-1                   （D）B1B2/A1A2=1

（5）函数f(x)=1/x(x≠0)的反函数f-1(x)=

    （A）x(x≠0)                        （B）1/x(x≠0)  

    （C）-x(x≠0)                       （D）-1/x(x≠0)

（6）已知点P（sinα-cosα,tgα）在第一象限，则[0,2π)内α的取值范围是

    （A）(π/2,3π/4)∪(π,5π/4)       （B）(π/4,π/2)∪(π,5π/4)

    （C）(π/2,3π/4)∪(5π/2,3π/2)    （D）(π/4,π/2)∪(3π/4,π)

（7）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆

     心角为

    （A）120°        （B）150°        （C）180°        （D）240°

（8）复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是

    （A）
 
/2±(1/2)i                   （B）-
 
/2±(1/2)i

    （C）±
 
/2+(1/2)i                  （D）±
 
/2-(1/2)i

（9）如果棱台的两底面积分别是S，S'，中截面的面积是S0，那么

    （A）2
 
=
 
+
 
 

    （B）S0＝
 

    （C）2SO＝S＋S'  

    （D）S02＝2S'S

（10）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与深h的函数关系的图象

     如右图所示，那么水瓶的形状是

（11）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2

     名护士。不同的分配方法共有

    （A）90种         （B）180种        （C）207种        （D）540种

（12）椭圆x2/12+y2/3＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点

     在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的

    （A）7倍          （B）5倍          （C）4倍          （D）3倍

（13）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过

     这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为

    （A）4
 
         （B）2
 
          （C）2            （D）
 

（14）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为

    （A）arccos
 
-1/2                  （B）arcsin
 
-1/2 

    （C）arccos1-
 
/2                  （D）arcsin1-
 
/2

（15）在等比数列{an}中，a1>1，且前n项和Sn满足
 
Sn=1/a1，那么a1的取

     值范围是

    （A）（1，＋∞）                    （B）（1，4） 

    （C）（1，2 ）                      （D）（1，
 
）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

（16）设圆过双曲线x2/9-y2/16=1的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，

      则圆心到双曲线中心的距离是_____。

（17）(x+2)10(x2-1)的展开式x10的系数为______（用数字作答）。

（18）如图，在直四棱柱A1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件____时，有A1C⊥B1D1。（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形。）

（19）关于函数F(x)=4sin(2x+π/3)(x∈R)，有下列命题：

    ①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍；

    ②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-π/6)；

    ③y=f(x)的图象关于点（－π、6，0）对称；

    ④y=f(x)的图象关于直线x=-π/6对称。

其中正确的命题的序号是_____。（注：把你认为正确的命题的序号都填上。）

三、解答题：本大题共6小题；共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤。

（20）（本小题满分10分）在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，设a+c=2b，

      A-C=π/3，求sinB的值。以下公式供解题时参考：

      sinθ+sinφ=2sinθ+φ/2cosθ-φ/2,

      sinθ-sinφ=2cosθ+φ/2sinθ-φ/2,

      cosθ+cosφ=2cosθ+φ/2cosθ-φ/2, 

      cosθ-cosφ=-2sinθ+φ/2sinθ-φ/2

（21）（本小题满分11分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1。

      以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与点N的距离相等。若

      △AMN为锐角三角形，|AM|=
 
，|AN|=3，且|BN|=6。建立适当的坐标

      系，求曲线C的方程。

（22）（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。

（23）（本小题满分12分）已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC

 
 
      垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2
 
，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C。

    （Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；

    （Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；

    （Ⅲ）求顶点C到侧面A1ABB1的距离。

（24）（本小题满分12分）设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x轴、y轴正向分

      别平行移动t、s单位长度后得曲线C1。

    （Ⅰ）写出曲线C1的方程；

    （Ⅱ）证明曲线C与C1关于点A（t/2,s/2）对称；

    （Ⅲ）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=t3/4-t且t≠0。

（25）（本小题满分12分）已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145。

    （Ⅰ）求数列{bn}的能项bn；

    （Ⅱ）设数列{an}的通项an=loga(1+1/bn)（其中a>0，且a≠1），记Sn是

          数列{an}的前n项的和。试比较Sn与1/3logabn+1的大小，并证明你

          的结论。

数学（理工类）

一、选择题

题 号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答 案	D	B	B	A	B	B	C	D	A	B
题 号	11	12	13	14	15
答 案	D	A	B	B	D

二、填空题

（16）16/3　　 （17）-5120

（18）AC⊥BD　　 （19）①，③

三、解答题：

（20） 解：由正弦定理和已知条件a+c=2b得

sinA+sinC=2sinB。 ……2分 由和差化积公式

得 2sin(A+C)/2cos(A-C)/2=2sinB。 由A+B+C=π，

得sin(A+C)/2=cosB/2， 又A-C=π/3，得

　( /2)cosB/2=sinB，

∴( /2)cosB/2=2(sinB/2)(cosB/2)。 ……6分

∵0<B/2<π/2, cosB/2≠0， ∴sinB/2= /4，

从而cosB/2= = /4 ……9分

∴sinB= /2× /4= /8 ……11分

（21）

解法一：如图建立坐标系，以l₁为x轴，MN的

垂直平分线为y轴，点O

为坐标原点。 依题意

知：曲线段C是以点N为

焦点，以l₂为准线的抛

物线的一段，其中A、B

分别为C的端点。 设曲

线段C的方程为 y₂=2px (p>0),(x_A≤x≤x_B,y>0)，

其中x_A,x_B分别为A，B的横坐标，p=|MN|。

所以 M(-p/2,0),N(p/2,0)。 ……4分

由|AM|= ，|AN|=3得

(x_A+p/2)²+2px_A=17， ①

(x_A-p/2)²+2pxA=9。 ② ……6分

由①，②两式联立得x_A=4/p，再将其代

入①式并由p>0解得 p=4, x_A=1；

或p=2, x_A=2。 因为△AMN是锐角三角形，

所以p/2>x_A，故舍去p=2, x_A=2。

∴p=4, x_A=1。 由点B在曲线段C上，

得x_B=|BN|-p/2=4。 综上得曲线段C的方

程式为y²=8x(1≤x≤4,y>0)。 ……12分

解法二：如图建立坐标系，分别以l₁、l₂

为x、y轴，M为坐标原

点。 作AE⊥l₁，

AD⊥l₂，EF⊥l₂，垂

足分别为E、D、F。

……2分

设A(x_A,y_A)、B(x_B,y_B)、

N(x_N,0)。 依题意有 x_A=|ME|=|DA|=|AN|=3，

y_A=|DM|=2 ， 由于△AMN为锐角

三角形，故有

x_N=|AE|+|EN|=4。

x_B=|BF|=|BN|=6。 ……7分

设点P(x,y)是曲线段C上任一点，则由题

意知P属于集合{(x,y)|(x-x_N)²=x²,

x_A≤x≤x_B,y>0}。 ……10分

故曲线段C的方程

y²=8(x-2)(3≤x≤6,y>0)。 ……12分

（22） 解法一：设y为流出的水中杂质

的质量分数，则y=k/ab，其中k>0为比

例系数，依题意，即所求的a,b值使y值

最小。 根据题设，有

4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)， ……4分

得 b=30-a/2+a (0<a<30)， ①

于是 y=k/ab=k/((30a-a²)/(2+a))

　 =k/(-a+32-64/(a+2))

　 =k/(34-(a+2+64/(a+2))

　 ≥k/(34-2 )=k/18，

当a+2=64/(a+2)时取等号，

y达最小值。 ……8分

这时a=6,a=-10（舍去）。 将a=6代入①式

得b=3。 故当a为6米，b为3米时，经沉淀

后流出的水中该杂质的质量分数最小。

……12分

解法二：依题意，即所求的a,b的值使ab最大。

由题设知

4a+2ab+2a=60 (a>0,b>0)， ……4分

即 a+2b+ab=30 (a>0,b>0)。 ∵a+2b≥2 ，

∴2 +ab≤30， 当且仅当a=2b时，上

式取等号。 由a>0，b>0，解得0<ab≤18。

即当a=2b时，ab取得最大值，

其最大值为18。 ……10分

∴2b²=18。解得b=3，a=6。 故当a为6米，

b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质

量分数最小。 ……12分

（23） 解：（Ⅰ）作A₁D⊥AC，垂足为D，

由面A₁ACC₁⊥面ABC，得

A₁D⊥面ABC， ∴∠A₁AD

为A₁A与面ABC所成的角。

……2分

∵AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C，

∴∠A₁AD＝45°为所求。 ……4分

（Ⅱ）作DE⊥AB，垂足为E，连A₁E，则由

A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB。 ∴∠A₁ED是面A₁ABB₁

与面ABC所成二面角的平面角。 ……6分

由已知，AB⊥BC，得ED∥BC。又D是AC的中点，

BC＝2，AC＝2 ， ∴DE＝1，AD＝A₁D＝ ，

tgA₁ED＝A₁D/DE= 。

故∠A₁ED＝60°为所求。 ……8分

（Ⅲ）解法一：由点C作平面A₁ABB₁的垂线，垂足

为H，则CH的长是C到平面A₁ABB₁的距离。 ……10分

连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB。 又A₁E⊥AB，

知HB∥A₁E，且BC∥ED， ∴∠HBC＝∠A₁ED＝60°。

∴CH＝BCsin60°＝ 为所求。 ……12分

解法二：连结A₁B。 根据定义，点C到面A₁ABB₁的

距离，即为三棱锥C－A₁AB的高h。 ……10分由

V锥C－A₁AB＝V锥A₁－ABC得

1/2S△AA₁Bh＝1/2S△ABCA₁D，

即 1/3×2 h=1/3×2 × ，

∴h= 为所求。 ……12分

（24）（Ⅰ）解：曲线C1的方程为

y=(x-t)³-(x-t)+s。 ……3分

（Ⅱ）证明：在曲线C上任取一点B₁(x₁,y₁)。

设B₂(x₂,y₂)是B₁关于点A的对称点，则有

x₁+x₂/2=t/2, y₁+t₂/2=s/2。

∴x₁=t-x₂, y₁=s-y₂。 ……5分 代入曲线C的

方程，得x₂和y₂满足方程：

s-y₂=(t-x₂)³-(t-x₂)，

即 y₂=(x₂-t)³-(x₂-t)+s，可知点B₂(x₂,y₂)

在曲线C₁上。 ……7分 反过来，同样可以证明，

在曲线C₁上的点关于点A的对称点在曲线C上。

因此，曲线C与C₁关于点A对称。

（Ⅲ）证明：因为曲线C与C₁有且公有一个公共

点，所以，方程组 y=x³-x, y=(x-t)³-(x-t)+s

有且公有一组解。 消去y，整理得

3tx²-3t²x+(t³-t-s)=0，这个关于x的一元二次

方程有且仅有一个根。 ……10分 所以t≠0并且

其根的判别式 △=9t⁴-12t(t³-t-s)=0。

即 t≠0, t(t³-4t-4s)=0。

∴s=t³/4-t 且 t≠0。 ……12分

（25）（Ⅰ）设数列{b_n}的公差为d，由题意得

b₁=1, 10b₁+10(10-1)/2d=100。

解得 b₁=1, d=2。 ∴b_n=2n-1。 ……2分

（Ⅱ）由b_n=2n-1，知

S_n=lg(1+1)+lg(1+1/3)+…+lg(1+1/2n-1+

=lg[(1+1)(1+1/3)×…×(1+1/2n-1)]，

1/2lgb_n+1=lg 。

因此要比较S_n与1/2lgb_n+1的大小，可先比较

(1+1)(1+1/3)×…×(1+1/2n-1)与 的大小。

取n=1有(1+1)> ， 取n=2有

(1+1)(1+1/3)> ， 由此推测

(1+1)(1+1/3)×…×(1+1/2n-1)> 。

① ……5分 若①式成立，则由对数函数性质可断定：

S_n>1/2lgb_n+1。 ……7分

下面用数学归纳法证明①式。

(i)当n=1时已验证①式成立。

(ii)假设当n=k(k≥1)时，①式成立，即

(1+1)(1+1/3)×…×(1+1/2k-1)> 。 ……8分

那么，当n=k+1时，

(1+1)(1+1/3)…(1+1/2k-1)(1+1/2(k+1)-1)>

(1+1/2k+1)= /2k+1(2k+2)。

∴[ /2k+1(2k+2)]²-[ ]²

=4k²+8k+4k²+8k+3)/2k+1=1/2k+1>0，

∴ /2k+1(2k+2)> 。

因而(1+1)(1+1/3)…(1+1/2k-1)(1+1/2k+1)

　 > 。

这就是说①式当n=k+1时也成立。

由(i)，(ii)知①式对任何正整数n都成立。

由此证得：S_n=1/2lgb_n+1。 ……12分
..............................