主观概率和先验分布(doc 4页)

主观概率和先验分布内容提要：
(一)  基本属性：
   O：系统的固有的客观性质，在相同条件下重复试验时频经的极限
        S：概率是观察者而非系统的性质，是观察者对对系统处于某状态的信任程度
     (二)抛硬币：正面向上概率为１／２
    O：只要硬币均匀，抛法类似，次数足够多，正面向上的概率就是１／２，这是简单的
定义。
    S：这确是定义，DMer认为硬币是均匀的，正、反面出现的可能性(似然率)相同，１
／２是个主观的量。
     (三)下次抛硬币出现正面的概率是１／２
     O：这种说法不对，不重复试验就谈不上概率
     S：对DMer来说，下次出现正、反是等可能的。但是他不是说硬币本身是公正的，它可能会有偏差，就他现有知识而言，没有理由预言一面出现的可能会大于另一面，但多次抛掷的观察结果可以改变他的信念。
   O、S：下次抛硬币出现正面还是反面不能确定，但知道：
       要么是正面，要么是反面。

   §2-2 先验分布(Prior distribution)及其设定
    在决策分析中，尚未通过试验收集状态信息时所具有的信息叫先验信息，由先验信息所确定的概率分布叫先验分布。
    设定先验分布是Bayesean分析的需要.
一、设定先验分布时的几点假设
    1.连通性(Connectivity)，又称可比性
    即事件A和B发生的似然性likelihood是可以比较的：
      A＞L B或A L B或B＞L A   必有一种也仅有一种成立.
     ** A＞L B读作 A 发生的似然性大于B 发生的似然性,
        A L B 读作 A 发生的似然性与B 发生的似然性相当。
3.区间对分法
•适用范围：可以是开区间
•步骤：①求中位
        ②确定上、下四分位点(quartile fractile)
        ③由于误差积累,最多确定八分位点(Eighth fractile)
        例：产品销售量(预计明年)
  •缺点：精度差
4.与给定形式的分布函数相匹配
  这是最常用，且常常被滥用的方法
•步骤：①选择一个与先验信息匹配得最好的函数
          如正态，泊松，β，e-Cauchy分布等
例：a)在单位时间以恒常的平均比率入出现，则在T单位长度时间内该事件出现的次数服从Poisson分布
  
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     b)若影响某一随机变量的因素很多而每一因素的作用均不显著，则该变量服从正态分布。例如，测量误差，弹落点，人的生理特征的度量，农作物产量等均服从正态分布。
     c)事件A出现的概率为P，n次独立试验出现r次A的概率b(p,r,n)=   .    即服从二项分布。
        ②参数估计：
   A.矩法：N(μ,σ)              Be(α，β)
    •缺点：尾部估计不准，但对矩的影响却很大
   B.分位数：利用几个分位点和现成的概率密度
             函数分位数表，估计参数并检验。
5. 概率盘法(dart)
  用园盘中的扇形区表示抽奖事件,   透用于西方管理人员
•注意：状态的概率或概率分布不是也不应富由决策分析人员来设定，而应当由决策人和有关问题专家提供基本信息。
     理由：

§2-3 无信息先验分布
一、为什么要研究无信息先验
•Bayesean法需要有先验分布，贝叶斯法的简明性使人在无信息时也想用它。

二、如何设定无信息先验分布
1.位置参数
  随机变量X的概率密度函数形如f(x-θ)时θ∈  称为位置参数
  其无信息先验  π(θ)必为一常数
2.标度参数
   X的密度函数为1/σf(x/σ)σ＞称为标度密度σ称为标度参数
  其无信息先验π(σ)=1/σ

§2.4 利用过去的数据设定先验分布
一、有θ的统计数据
    为能获得θ的观察值θi   i=1,…,n的数据，则可：
    ①通过直方图勾划出先验分布
    ②选取可能的函数形式作为先验分布，再定参数
    ③求频率(离散RV)

二、状态θ不能直接观察时
    若直接观察的只是与 有关的 (通常都是如此)则要从 中获取 的先验信息很困难： 的分布是随边缘分布m(.)而定的：
        m(x)=   或m(x)=
   X、Θ的联合密度是h(x,θ)=f(x｜θ)μ(θ)
  由 估计m(x)不难，但即使f(x｜θ)已知，由此估计μ(θ)就难得多。

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